miércoles, 21 de mayo de 2014

Duopolio de Stackelberg

Competencia en duopolio según Stackelberg

En 1934, Stackelberg dio a conocer un modelo de duopolio dinámico en el cual las decisiones no se toman en forma simultanea sino secuencial.


En 1934, Stackelberg dio a conocer un modelo de duopolio dinámico en el cual las decisiones no se toman en forma simultanea sino secuencial. Su modelo enuncia el caso de dos empresas, las cuales deciden competir entre sí debido a las exigencias del mercado, por una cantidad demanda por los consumidores. En este tipo de competencia en duopolio (son dos empresas líderes que comparten un mismo producto) siempre se dará el caso que una de ellas tome la decisión anticipada de decidir primero cuando y cuanto producir, lo que significa que jugará primero; esta empresa es la que se conoce como “líder”. Por otro lado la empresa que decide después, es la que juega en segundo término y se conoce como “seguidora”, ella tiene que analizar la producción de “lider”, para ver cuanto va a producir. De todas formas la demanda total del mercado se repartirá entre ambas empresas, siendo una la mayor demanda abastecida por el “lider” y el resto conocido como “demanda residual” la que abastece el “seguidor”. Un ejemplo claro de este caso es la actitud comercial seguida por muchas empresas de automóviles, como por ejemplo Ford y Chrysler como seguidoras de General Motors en determinados momentos de la historia de esta industria o el caso presentado por las empresas de autos norteamericanas contra la compañía Toyota. Este es un modelo de fácil y generalizada aplicación para muchas empresas, también puede orientarse a la competencia en cuanto a precios, según el modelo desarrollado por Bertrand.

Para desarrollar este tipo de competencia, se establecen uan serie de supuestos, quedando de la siguiente manera: la empresa líder elige la cantidad qL que producirá y la empresa seguidora , la cual luego de observar la producción qL elige la cantidad qS. Supongamos que la demanda de mercado es P = a – Q, pero nosotros sabemos que estamos en un duopolio por lo tanto Q = qL + qS. Para obtener el equilibrio en competencia de duopolio se utiliza la técnica backward induction (inducción hacia atrás), efectuándose primero la maximización del beneficio del “seguidor”, de esta forma se obtiene su regla de comportamiento que nos lleva a determinar la curva de reacción, la cual nos indica cuanto producirá el “seguidor” en función de cuanto produzca el líder (en cantidades); es decir, sabiendo cual es la demanda de mercado y cuanto abastece el líder, la empresa seguidora sabe cuanto debe producir según la porción de demanda que queda sin cubrir para con ello evitar pérdidas innecesarias y una sobre oferta. De lo anterior podemos señalar que BS = ( a – qL – qS) x qS – c.qS, de esta manera se ha supuesto que el costo marginal es constante. Efectuando la derivada respecto a qS, obtenemos:

dBs/dqs = a – qL – 2qs – c = 0
Despejando qs obtenemos la reacción del seguidor a una cantidad arbitraria fijada por el líder:
qs = (a – qL –c)/2

Esta ecuación de reacción es similar a la que nos mostró antes Cournot, pero con la diferencia que con este sistema la reacción del seguidor se basa en la acción del líder (cuanto más produzca el líder menos el seguidor y viceversa); mientras que antes era la mejor respuesta a una cantidad hipotética que será simultáneamente escogida por la otra empresa. El líder (y este es un supuesto fuerte) conoce la regla de decisión del seguidor, y debe tenerla en cuenta cuando decide cuanto producir, ya que ello impactará sobre la cantidad total a ser ofrecida al mercado, con la consecuente influencia en el precio. Entonces, debemos incorporar la curva de reacción del seguidor en la maximización de beneficios del líder, lo que se efectúa reemplazando la regla para qs obtenida arriba (*) en la qs de la función de beneficios del líder:

BL = (a-qL-qS).qL – c.qL = ( a-qL- (a – qL –c)/2 ).qL –c.qL

Luego derivando respecto a qL se obtiene:

dBL/dqL = a – 2qL – a/2 + qL + c/2 –c = a/2 –c/2 –qL = 0

Despejando qL resulta ser qL=(a-c)/2 que es la cantidad óptima que produce el líder, y reemplazando dicha cantidad en la curva de reacción del seguidor, obtenemos la cantidad de producción óptima para este, es decir

qS = (a – qL –c)/2 = (a – (a-c)/2 – c) /2 = (a-c)/4

Con lo cual hemos resuelto el equilibrio de Stackelberg por inducción hacia atrás siendo las cantidades óptimas del líder y el seguidor respectivamente (a-c)/2 y (a-c)/4. Es importante no confundir la regla de conducta del seguidor con la cantidad óptima que ofrecerá el seguidor, la cual sólo puede ser obtenida luego de saber cuanto produce el líder. Este es un modelo de bienestar social, la solución propuesta por Stackelberg estaría entre las soluciones de Monopolio y Competencia Perfecta.

Competencia Perfecta.

La curva de demanda será: P = a – Q(total)
Como el Costo Marginal es constante “c” entonces la solución de competencia es cuando el costo marginal es igual al precio:

C = P= a – Q(total) Q = (a-c)



Monopolio.

El Monopolista iguala ingreso marginal con costo marginal, resultando en precios más altos y cantidades más bajas.

C = P= a – 2Q(total) Q = (a-c)/2



Duopolio

Solución Propuesta por Stackelberg para el caso del duopolio.
ql = (a-c)/2
qs = (a-c)/4
Q = q1+q2=3/4 (a-c)



Empresa y Economía

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